FUNGSI KUADRAT KELAS 10

Pengertian

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinomial atau suku banyak dimana pangkat tertinggi dari variabel atau peubahnya adalah 2. Maka, bentuk umum dari fungsi kuadrat mendekati persamaan kuadrat.

Ciri-Ciri Fungsi Kuadrat

Bentuk umumnya yaitu $f(x)=ax^{2}+bx+x+c$ dengan nilai a tidak boleh sama dengan nol.
Fungsi kuadrat paling sederhana adalah $y=x^{2}$ dengan derajat tertinggi adalah 2.
Apabila diplotkan dalam sistem koordinasi kartesian, maka bentuk grafiknya yakni parabola. Bentuknya bisa beragam, mulai dari landai hingga curam. Akan tetapi, bentuk dasarnya adalah U yang dapat membuka ke atas atau ke bawah tergantung nilai a.
Mempunyai titik balik minimum ataupun maksimum
Terdapat sumbu simetri yang memotong parabola secara vertikal menjadi dua bagian
Mempunyai diskriminan dengan rumus $D=b^{2}=4ac$

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik kuadrat berbentuk parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.

Jika $a>0$ maka parabola terbuka keatas

Jika $a<0$ maka parabola terbuka kebawah

Berikut langkah-langkah menggambarkan grafik/kurvanya :

Tentukan titik potong $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ terhadap sumbu X, yaitu nilai $x$ saat $y=0$ . Maka dari itu, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ .
Tentukan titik potong terhadap sumbu Y, yaitu nilai y saat $x=0$ .
Tentukan sumbu simetrinya. Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu $x$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $x=\frac{-b}{2a}$ atau $x=\frac{x_{1}+{x_{2}}}{2}$ .
Tentukan titik puncak (titik balik maks atau titik balik min) grafiknya. Titik puncak merupakan titik dimana nilai $y=f(x)$ mencapai nilai maks atau nilai min sehingga parabolanya akan berbalik arah.
Koordinat titik puncak parabola adalah: $\left(\frac{-b}{2a},\frac{D}{-4a}\right)$ bilamana D adalah Diskriminan, yaitu $D=b^{2}-4ac$
Setelah mendapatkan semua titik diatas, makakita baru dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan semua titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola
Agar parabola terlihat lebih halus, kita dapat menghitung atau menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi $y=f(x)$ .

Contoh Soal:

Jika $y=f(x)=2x^{2}=11x+p$ mempunyai nilai minimum $-\frac{1}{8}$ , tentukan nilai p!

Jawab:

Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak $y=f(x)$

Maka dari itu, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat

Titik puncak = $\frac{b^{2}-4ac}{-4a}=\frac{(-11)^{2}-4.2.p}{-4.2}$

$\Leftrightarrow\frac{121-8p}{-8}=-\frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow 121-8p=1\to 8p=120$

Maka dari itu, $p=\frac{120}{8}=15$

Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Bila pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu x di dua titik berlawanan, menyinggung sumbu x, atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu x.

Berikut sifat-sifatnya:

Jika $D$ merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$
Jika $D>0$ , maka grafik $y=f(x)$ memotong sumbu $x$ pada dua titik berbeda
Jika $D=0$ , maka grafik $y=f(x)$ menyinggung sumbu $x$ pada satu titik
Jika $D<0$ , maka grafik $y=f(x)$ tidak memotong sumbu $x$ .

Menyusun Fungsi Kuadrat Baru

Kita bisa membuat fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga informasi ini diketahui, yaitu:

Bila diketahui $y=f(x)$ melampaui tiga titik, $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ , dan $(x_{3},y_{3})$ . maka bentuk fungsinya bisa didapat dengan mensubstitusikan nilai koordinat ke tiga titik tersebut ke persamaan $y=ax^{2}+bx+c$ . Selanjutnya akan didapat tiga persamaan linear dalam a,b,dan c. Kemudian nilai a,b, dan c dengan menggunakan metode eliminasi/substitusi
Bila diketahui $y=f(x)$ memotong sumbu X dititik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ , serta melalui satu titik lain $(x,y)$ , maka bentuk fungsinya adalah : $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . Titik ke tiga, yaitu $(x,y)$ dipergunakan agar memperoleh nilai $a$ pada bentuk fungsi di atas
Bila diketahui $y=f(x)$ melalui titik puncak $(x_{p},y_{p})$ dan satu titik lain $(x,y)$ , maka bentuk fungsinya adalah $y=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$